Lezione del 23.02.2021: Introduzione al corso. Introduzione all'integrale di Riemann. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.
Lezione del 24.02.2021:
Caratterizzazione dell'integrabilita'. Esempio di funzione non integrabile. Classi di funzioni integrabili. Proprieta' dell'integrale. Il teorema della media integrale con dimostrazione. Il problema della primitiva. Struttura dell'integrale indefinito.
Lezione del 25.02.2021:
I teoremi fondamentali del calcolo, con dimostrazione. Esercizi sugli integrali immediati.
Lezione del 02.03.2021:
Esercizi sul calcolo degli integrali immediati e sulla formula di integrazione per parti.
Lezione del 03.03.2021:
Esercizi sulla formula di integrazione per parti. La formula di integrazione per sostituzione.
Lezione del 04.03.2021:
Esercizi di applicazione della formula di integrazione per sostituzione.
Lezione del 09.03.2021:
Ultimi esercizi sull'integrazione per sostituzione. Esercizi sull'integrazione delle funzioni razionali fratte.
Lezione del 10.03.2021:
Esercizi sull'integrazione delle funzioni razionali fratte (1h). Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Esempi. Le equazioni a variabili separabili.
Lezione del 11.03.2021:
La procedura di risoluzione delle equazioni a variabili separabili. Derivazione della formula risolutiva per le equazioni lineari del prim'ordine a coefficienti continui. (1h) Esercizi sulle equazioni a variabili separabili.
Lezione del 16.03.2021:
Esercizi sulle equazioni a variabilli separabili. Il teorema di struttura dell'integrale generale delle equazioni differenziali del second'ordine lineari a coefficienti costanti. Il caso omogeneo. Esercizi sulle equazioni omogenee.
Lezione del 17.03.2021: Esercizi sulle equazioni omogenee. Il metodo di somiglianza per calcolare una soluzione dell'equazione completa. Esercizi sulle equazioni complete.
Lezione del 18.03.2021: Esercizi sulle equazioni del second'ordine, lineari a coefficienti costanti, complete. Elementi di topologia di R^n.
Lezione del 23.03.2021:
Le proprieta' della norma. Elementi di topologia di R^n. Domini di funzioni di piu' variabili e primi esempi di calcolo.
Lezione del 24.03.2021:
Esercizi sul calcolo e la rappresentazione di domini di funzioni di due variabili.
Grafici di campi scalari. Definizione di continuita' in un punto per campi vettoriali e primi risultati sulla continuita'.
Lezione del 25.03.2021:
Definizione di limite per campi vettoriali. Risultati sui limiti. Primi esercizi di calcolo dei limiti.
Lezione del 13.04.2021:
Esercizi sul calcolo dei limiti e sullo studio della continuita' di campi scalari.
Lezione del 14.04.2021:
Esercizi sul calcolo dei limiti e sullo studio della continuita' di campi scalari.
Lezione del 15.04.2021:
Definizioni ed esempi di calcolo di derivata direzionale e parziale. Definizione di funzione differenziabile in un punto.
Lezione del 20.04.2021:
Commenti alla definizione di funzione differenziabile in un punto. Teorema sulla caratterizzazione della differenziabilita'. Proprieta' delle funzioni differenziabili (con dimostrazione). Il piano tangente. Esempi di studio della differenziabilita'. Il teorema del differenziale totale.
Esercizi sul calcolo di derivate parziali e direzionali per funzioni di due variabili.
Lezione del 21.04.2021:
Esercizi sul calcolo di derivate parziali e direzionali per funzioni di due variabili.
Lezione del 22.04.2021:
Esercizi sullo studio della differenziabilita' per funzioni di due variabili.
Lezione del 27.04.2021:
Definizione di punto di estremo relativo/assoluto. Esempi. Il teorema di Fermat con dimostrazione. Punti di sella. Derivate seconde ed esempi di calcolo. Richiami di algebra lineare sugli autovalori. Il test della matrice hessiana. Il test del determinante hessiano con dimostrazione.
Lezione del 28.04.2021:
Esercizi sul calcolo dei punti di estremo relativo per funzioni di due variabili.
Lezione del 29.04.2021:
Esercizi sul calcolo dei punti di estremo relativo per funzioni di due variabili.
Lezione del 04.05.2021:
Esercizi sul calcolo dei punti di estremo relativo per funzioni di due variabili.
Introduzione ai problemi di estremo vincolato e assoluto. Introduzione alle curve. Il primo metodo per la risoluzione dei problemi di estremo vincolato, e un esempio di applicazione.
Lezione del 05.05.2021:
Esercizi sulla ricerca dei punti di estremo vincolato tramite l'equazione cartesiana e quella parametrica del vincolo.
Lezione del 06.05.2021:
Esercizi sulla ricerca dei punti di estremo assoluto tramite il metodo delle curve di livello.
Lezione del 11.05.2021:
Esercizi sui problemi di estremo vincolato assoluto tramite il metodo delle curve di livello e tramite il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Lezione del 12.05.2021:
Definizioni di vettore tangente e retta tangente; versore tangente e normale con esempi. Definizioni di curva regolare, rettificabile e di lunghezza di una curva.
Lezione del 13.05.2021:
Esercizi sul calcolo di vettori e rette tangenti, e sul calcolo di lunghezze. Definizione di integrale curvilineo di un campo scalare. Un primo esempio di calcolo di integrale curvilineo di prima specie.
Lezione del 18.05.2021:
Riparametrizzazione di curve; l'ascissa curvilinea e la riparametrizzazione per la lunghezza dell'arco. Integrali curvilinei di campi scalari: proprieta' ed esempi. Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei di prima specie. Integrali curvilinei di campi vettoriali: proprieta' ed esempi.
Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei di campi scalari.
Lezione del 19.05.2021:
Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei di campi vettoriali.
Lezione del 20.05.2021:
Campi conservativi: introduzione (l'esempio della forza di gravita'); definizione e considerazioni varie; il teorema di struttura dell'insieme dei potenziali con dimostrazione.
Lezione del 25.05.2021:
Il secondo teorema fondamentale del calcolo. Il teorema di caratterizzazione dei campi conservativi. Prima parte della dimostrazione.
Lezione del 26.05.2021:
Il primo teorema fondamentale del calcolo. Conclusione della dimostrazione del teorema di caratterizzazione dei campi conservativi.
Lezione del 27.05.2021:
Definizione di campo irrotazionale. Teorema: ogni campo conservativo e' irrotazionale. Definizione di insieme semplicemente connesso; condizioni sufficienti ed esempi. Irrotazionalita' implica conservativita' su insiemi semplicemente connessi.
Il metodo degli integrali indefiniti. Esercizi sul calcolo di potenziali. Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei attraverso la teoria dei campi conservativi.
Lezione del 01.06.2021:
Esercizi sul calcolo di potenziali. Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei attraverso la teoria dei campi conservativi.
Lezione del 03.06.2021:
Esercizi sul calcolo di integrali curvilinei attraverso la teoria dei campi conservativi. Introduzione agli integrali di campi scalari di due variabili.
Definizione di funzione integrabile secondo Riemann nel caso in cui il dominio di integrazione e' un rettangolo. Prime proprieta' dell'integrale di Riemann. Estensione della definizione di integrale al caso di insiemi di Jordan.
Lezione del 08.06.2021:
Le formule di riduzione su insiemi di Jordan. Esempi. Il teorema di cambiamento di variabile per integrali doppi. Il caso particolare delle coordinate polari e delle coordinate ellittiche.
Esercizi di calcolo di integrali doppi tramite le formule di riduzione e di cambiamento di variabile.