Analisi Matematica 1

Anno Accademico 2021/2022

DIARIO DEL CORSO

Lezione del 15.09.2021: Introduzione al corso. Elementi di logica matematica. Richiami sulla teoria degli insiemi. I numeri naturali e il principio di induzione. I numeri interi. Riferimenti: Cap. 1 e Cap. 3 delle dispense.

Lezione del 20.09.2021: I razionali: allineamento decimale di un numero decimale. Teorema: irrazionalita' di radice di 2. I numeri reali: struttura di campo ordinato. Riferimenti: Cap. 3 e 4 delle dispense.

Lezione del 21.09.2021: Definizione di maggiorante/minorante con esempi; sup/inf; l'assioma di completezza. Non completezza di Q. Cenni al teorema degli elementi separatori. Riferimenti: Cap. 4 delle dispense.

Lezione del 22.09.2021: La retta reale. L'insieme dei numeri reali estesi. Introduzione al campo complesso. Forma algebrica di un numero complesso. La rappresentazione di C in R^2. Riferimenti: Cap. 4 e 5 delle dispense.

Lezione del 27.09.2021: l coniugato e il modulo di un numero complesso. Le coordinate polari nel piano di Gauss. Rappresentazione di un numero complesso in forma trigonometrica. L'esponenziale complesso. Riferimenti: Cap. 5 delle dispense.

Lezione del 29.09.2021: La formula di Eulero e le sue conseguenze. La periodicita' dell'esponenziale complesso. Prodotti, quozienti, e potenze di numeri complessi in forma esponenziale. Radici n-esime di un numero complesso. Riferimenti: Cap. 5 delle dispense.

Lezione del 04.10.2021: Il teorema fondamentale dell'algebra con esempi e commenti. Introduzione al concetto di successione. Definizione di successione convergente, divergente e oscillante, con esempi. Riferimenti: Cap. 5 e 6 delle dispense.

Lezione del 06.10.2021: Il teorema di limitatezza delle successioni convergenti con dimostrazione e commenti. Il teorema sull'algebra dei limiti. L'algebra dei limiti estesa e la nozione di forma indeterminata. Forme indeterminate di tipo polinomiale e razionale fratto. Confronti asintotici. Enunciati e commenti per i teoremi della permanenza del segno, del confronto e dei due carabinieri. Le dimostrazioni sono state date in una video-lezione. Riferimenti: Cap. 6 delle dispense.

Lezione del 13.10.2021: Un corollario al teorema dei due carabinieri, con dimostrazione. Successioni monotone. Il teorema fondamentale delle successioni monotone con dimostrazione. Il concetto di sottosuccessione. Il teorema sul rapporto fra limite di una successione e delle sue sottosuccessioni (la dimostrazione e' stata data in una video-lezione). Riferimenti: Cap. 6 delle dispense.

Video-lezione del 14.10.2021: Esercizi sul calcolo di sup e inf di successioni tramite il teorema fondamentale delle successioni monotone.

Lezione del 15.10.2021: La condizione di Cauchy: motivazione, derivazione euristica, esempi. Il criterio di Cauchy con dimostrazione. Introduzione alle serie numeriche. Esercizi sui limiti di successioni. Riferimenti: Cap. 6 delle dispense.

Lezione del 18.10.2021: Definizione di serie convergente/divergente/oscillante con esempi. La serie geometrica. Le serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Il teorema fondamentale per le serie a termini positivi. Il criterio del confronto con esempi. Il criterio del confronto asintotico con esempi (gli esempi sono stati dati in una video-lezione). Riferimenti: Cap. 7 delle dispense.

Lezione del 20.10.2021: Convergenza assoluta. Il criterio della convergenza assoluta. Il criterio di Leibniz. Esercizi sullo studio del carattere delle serie. (Le dimostrazioni dei criteri della convergenza assoluta e di Leibniz sono state date in una video-lezione). Riferimenti: Cap. 7 delle dispense.

Lezione del 25.10.2021: Introduzione alla nozione di limite per funzioni reali di una variabile reale. Nozioni topologiche: punto interno, di accumulazione e isolato. Le definizioni di limite con commenti e considerazioni grafiche. Riferimenti: Cap. 8 delle dispense.

Lezione del 27.10.2021: Limiti unilateri: introduzione, definizione. Teorema di esistenza del limite in termini dei limiti unilateri. Definizione unificata di limite. I teoremi di unicita' del limite (con dimostrazione in una video-lezione), di caratterizzazione tramite i limiti di successioni (con dimostrazione in una video-lezione), di permanenza del segno, e dei due carabinieri. Riferimenti: Cap. 8 delle dispense.

Lezione del 02.11.2021: Confronti asintotici; la nozione di o piccolo. Definizione di funzione continua in punto e commenti. Continuita' in punti isolati. Caratterizzazione della continuita' tramite i limiti. Caratterizzazione della continuita' tramite successioni. Il teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Classificazione dei punti di discontinuita'. Riferimenti: Cap. 8 delle dispense.

Lezione del 05.11.2021: Introduzione ai risultati globali per le funzioni continue. Definizione di punto di estremo assoluto, esempi. Il teorema di Weierstrass con dimostrazione. Introduzione al teorema degli zeri. Riferimenti: Cap. 9 delle dispense.

Lezione del 08.11.2021: Il teorema degli zeri (enunciato e commenti). Il teorema dei valori intermedi con dimostrazione. Il corollario al teorema dei valori intermedi, con dimostrazione. Risultati su continuita' e invertibilita'. Definizione di derivata. Significato geometrico. Primi esempi di calcolo di derivate. Riferimenti: Cap. 9 e 10 delle dispense.

Lezione del 10.11.2021: Non derivabilita' della funzione modulo. Derivate unilatere e legame con la derivata. Derivabilita' implica continuita' (con dimostrazione). Il teorema di linearita'. Formule per la derivata del prodotto e della composizione di funzioni. Il teorema della derivata della funzione inversa con esempi di applicazioni. Riferimenti: Cap. 10 delle dispense.

Lezione del 15.11.2021: Classificazione dei punti di non derivabilita' con esempi (in una video-lezione). Il teorema di De L'Hopital (dimostrazione in una video-lezione) con esempi di applicazione alle forme indeterminate. Il teorema del limite della derivata (dimostrazione in una video-lezione). Definizione di punto di estremo relativo ed esempi. Riferimenti: Cap. 10 delle dispense.

Lezione del 17.11.2021: Esempi di punti di estremo relativo. Il teorema di Fermat (con dimostrazione). I teorema di Rolle e Lagrange: enunciato, illustrazione geometrica; dimostrazione del teorema di Lagrange a partire dal teorema di Rolle. (Il teorema di Cauchy verra' dato in una video-lezione). Richiami sulla monotonia. Il teorema su monotonia e segno della derivata. Condizioni sufficienti per estremi relativi. Riferimenti: Cap. 11 delle dispense.

Lezione del 22.11.2021: Dimostrazione dei teoremi di Rolle e Lagrange. Il teorema della derivata nulla con dimostrazione e controesempi. Dimostrazione del teorema sul rapporto fra segno della derivata e monotonia. Derivate seconde. Definizione di funzione convessa. Riferimenti: Cap. 11 delle dispense.

Lezione del 24.11.2021: Criteri per le funzioni convesse. Il criterio della derivata seconda (senza dimostrazione). Riferimenti: Cap. 11 delle dispense.

Lezione del 26.11.2021: Il concetto di funzione differenziabile in un punto. Legami fra differenziabilita' e derivabilita'. Introduzione ai polinomi di Taylor. Il teorema sugli sviluppi di Taylor con resto di Peano. Riferimenti: Cap. 10 e 12 delle dispense.

Lezione del 29.11.2021: Polinomi e sviluppi di Taylor di funzioni elementari. Applicazioni al calcolo dei limiti. Riferimenti: Cap. 12 delle dispense.

Lezione del 01.12.2021: Il criterio della derivata n-esima, con commenti e dimostrazione. La formula di Taylor con resto di Lagrange: commenti, legami con il teorema di Lagrange, un esempio di applicazione. Introduzione all'integrale di Riemann. Definizioni preliminari. Riferimenti: Cap. 12 e 13 delle dispense.

Lezione del 06.12.2021: Definizione di integrale inferiore e superiore. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Rieman. Classi di funzioni integrabili. Proprieta' dell'integrale. Il teorema della media integrale. Il concetto di primitiva e integrale indefinito. Il teorema di struttura degli integrali indefiniti su intervalli. Riferimenti: Cap. 13 delle dispense.

Lezione del 10.12.2021: Definizione di funzione integrale. Il primo teorema fondamentale del calcolo, con dimostrazione. Il secondo teorema fondamentale del calcolo, con dimostrazione. La formula di integrazione per parti con esempi di applicazione. Riferimenti: Cap. 13 delle dispense.

Lezione del 13.12.2021: La formula di integrazione per sostituzione, con dimostrazione ed esempi di applicazione. Le definizioni di integrale improprio, ed esempi di calcolo, per funzioni su intervalli semi-aperti, su semirette, e nel caso generale. Riferimenti: Cap. 13 & 14 delle dispense.

Lezione del 15.12.2021: Integrali impropri: il teorema fondamentale delle funzioni positive. I criteri del confronto (con dimostrazione) e del confronto asintotico. Il teorema di Mac Laurin (con dimostrazione). Il criterio della convergenza assoluta. Introduzione alle equazioni differenziali. Riferimenti: Cap. 14 delle dispense.

Lezione del 17.12.2021: Esercizi sugli integrali impropri. Riferimenti: Cap. 14 delle dispense.

Lezione del 20.12.2021: Proprieta' generali delle soluzioni dei problemi di Cauchy. Derivazione della formula risolutiva per le equazioni lineari del prim'ordine a coefficienti continui. Esercizi di risoluzione di problemi di Cauchy per le suddette equazioni.

Lezione del 21.12.2021: Esercizi di risoluzione di problemi di Cauchy per le equazioni lineari del prim'ordine a coefficienti continui. Derivazione della formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili. Esercizi di risoluzione di problemi di Cauchy per le suddette equazioni.

Lezione del 22.12.2021: Integrale generale delle equazioni del second'ordine lineari a coefficienti costanti. Il metodo di somiglianza per la ricerca di una soluzione particolare. Esercizi di risoluzione di i problemi di Cauchy per le suddette equazioni (omogenee e con termine forzante).