Analisi Matematica 1

Anno Accademico 2020/2021

DIARIO DEL CORSO

  • Lezione del 15.09.2020: Introduzione al corso. Elementi di logica matematica. Richiami sulla teoria degli insiemi.

    Riferimenti: Capitolo 1 delle Dispense.

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    Lezione del 16.09.2020: Richiami sulla teoria delle funzioni: funzioni iniettive, suriettive. Invertibilita'.

    Riferimenti: Capitolo 2 delle Dispense.

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    Lezione del 17.09.2020: Operazioni su funzioni (restrizione, composizione, operazioni algebriche). I numeri naturali e il principio di induzione. I numeri interi. I numeri razionali e l'irrazionalita' di \sqrt{2}. Introduzione ai numeri reali.

    Riferimenti: Capitolo 2 e 3 delle Dispense.

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    Lezione del 18.09.2020: Illustrazione della descrizione assiomatica di R come campo ordinato completo: definizione di campo ordinato; definizioni di maggiorante, minorante, sup, inf, max, min; l'assioma di completezza; la retta reale.

    Riferimenti: Capitolo 4 delle Dispense.

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    Lezione del 22.09.2020: La retta reale estesa. La notazione di intervallo. Introduzione ai numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso. Il piano complesso.

    Riferimenti: Capitolo 4 e 5 delle Dispense.

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    Lezione del 23.09.2020: I numeri complessi: il coniugio e il modulo. Forma trigonometrica di un numero complesso. L'esponenziale complesso.

    Riferimenti: Capitolo 5 delle Dispense.

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    Lezione (esercitazione) del 25.09.2020: Esercizi sul calcolo di estremo superiore e inferiore per sottoinsiemi di R.

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    Esercitazione e Lezione del 29.09.2020: Esercizi sul calcolo di estremo superiore e inferiore per sottoinsiemi di R. L'esponenziale complesso e la forma esponenziale.

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    Lezione del 30.09.2020: Radici n-esime di un numero complesso. Il Teorema fondamentale dell'algebra. Introduzione alle successioni. Definizione di successione convergente.

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    Lezione & Esercitazione del 02.10.2020: Definizione di successione convergente e commenti. Il Teorema di unicita' del limite con dimostrazione. Definizione di successione divergente. Esercizi sui numeri complessi.

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    Lezione del 06.10.2020: Definizione di successione divergente a -infinito. Successioni limitate. Teorema di limitatezza delle successioni convergenti con dimostrazione. L'algebra dei limiti e la sua estensione. Il concetto di forma indeterminata. Forme indeterminate associate a funzioni polinomiali e razionali fratte. Confronti asintotici.


    Lezione del 07.10.2020: La gerarchia degli infiniti ed esempio di applicazione al calcolo dei limiti. I teoremi della permanenza del segno, del confronto, e dei due carabinieri con dimostrazione. Successioni monotone. Il Teorema fondamentale delle successioni monotone.


    Lezione del 13.10.2020: Esercizi sui limiti di successioni. Introduzione alle serie. Serie convergenti/divergenti/oscillanti con esempi. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.


    Lezione del 14.10.2020: Serie telescopiche. Il teorema fondamentale delle serie a termini positivi con dimostrazione. Il criterio del confronto asintotico con applicazioni.


    Lezione del 16.10.2020: I criteri asintotici del rapporto e della radice, con applicazioni. Il criterio di Raabe. Serie a termini di segno variabile: il teorema della convergenza assoluta con dimostrazione. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Il criterio di Leibniz con dimostrazione.


    Lezione del 20.10.2020: Conclusione della dimostrazione del criterio di Leibniz. Serie notevoli. La lezione e' stata tenuta in modalita' telematica asincrona vista la sospensione della didattica in presenza a causa dell'occupazione delle aule per le lauree. Esercizi sulle serie a termini positivi. La lezione e' stata tenuta in modalita' telematica asincrona vista la sospensione della didattica in presenza a causa dell'occupazione delle aule per le lauree.


    Lezione del 21.10.2020: Esercizi sulle serie a termini di segno variabile. La lezione e' stata tenuta in modalita' telematica asincrona vista la sospensione della didattica in presenza a causa dell'occupazione delle aule per le lauree. Introduzione al concetto di limite. Definizioni di limite (al finito e all'infinito, finiti e infiniti). La lezione e' stata tenuta in modalita' telematica asincrona vista la sospensione della didattica in presenza a causa dell'occupazione delle aule per le lauree.


    Lezione del 23.10.2020: Definizione unificata di limite. Limiti unilateri e teorema sul rapporto fra limiti bilateri e unilateri. Teorema sull'algebra dei limiti. Il teorema di unicita' del limite con dimostrazione.


    Lezione del 27.10.2020: I teoremi di caratterizzazione del limite successioni. I teoremi di limitatezza locale, permanenza del segno e dei due carabinieri. Teorema sui limiti di funzioni monotone.


    Lezione del 28.10.2020: Forme indeterminate. Confronti asintotici. Definizione di funzione continua, commenti, caratterizzazione della continuita' tramite il limite.


    Lezione del 30.10.2020: Risultati sulle funzioni continue. Classificazione dei punti di discontinuita' con esempi. Il teorema di Weierstrass con dimostrazione.


    Lezione del 03.11.2020: Esercizi introduttivi su limiti e continuita'.


    Lezione del 04.11.2020: Il teorema di Bolzano e il teorema dei valori intermedi (con dimostrazione). Risultati sulla continuita' della funzione inversa. Definizione di derivata e di funzione derivabile in un punto. Significato geometrico. Primi esempi di calcolo di derivate.


    Lezione del 06.11.2020: La derivata della funzione modulo. Derivate unilatere. Calcolo di derivate di funzioni elementari attraverso la definizione. Teorema sui rapporti fra derivabilita' e continuita' con dimostrazione. Il teorema sull'algebra delle derivate. Formule per la derivazione del prodotto e della composizione di funzioni con applicazioni. La formula per la derivata della funzione inversa.


    Lezione del 10.11.2020: Applicazioni della formula della derivata della funzione inversa. Classificazione dei punti di non derivabilita' con esempi. Il teorema di De L'Hopital con applicazioni. Il teorema del limite della derivata con dimostrazione.


    Lezione del 11.11.2020: Derivate di ordine successivo: definizione, esempi di calcolo. Proprieta' di regolarita' (spazi di classe C^k). Definizione di punto di estremo relativo; confronto con punti di estremo assoluto. Esempi. Introduzione al teorema di Fermat.


    Lezione del 13.11.2020: Il Teorema di Fermat con dimostrazione. I teoremi di Rolle e Lagrange con dimostrazioni ed esempi.


    Lezione del 17.11.2020: Conseguenze del teorema di Lagrange: il teorema della derivata nulla (con dimostrazione); applicazioni allo studio della monotonia (teorema con dimostrazione) e alla ricerca dei punti di estremo relativo (teorema senza dimostrazione).


    Lezione del 18.11.2020: Il Teorema di Cauchy con dimostrazione. La dimostrazione del Teorema di De L'Hopital. Definizione di funzione convessa. Caratterizzazioni della convessita'.


    Lezione del 20.11.2020: Caratterizzazioni della convessita'. Primi esercizi sugli studi di funzione.


    Lezione del 25.11.2020: Il concetto di funzione differenziabile in un punto. Teorema sull'equivalenza fra differenziabilita' e derivabilita'. Introduzione agli sviluppi di Taylor. Il Teorema sugli sviluppi di Taylor con commenti vari. Esempi di calcolo di sviluppi di Taylor.


    Lezione del 27.11.2020: Applicazioni degli sviluppi di Taylor allo studio dei limiti di funzioni e del carattere delle serie. Il criterio della derivata n-esima con dimostrazione.


    Lezione del 01.12.2020: La formula di Taylor con il resto di Lagrange: commenti e un'applicazione. Introduzione all'integrale di Riemann. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di Riemann.


    Lezione del 02.12.2020: Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann (senza dimostrazione). La classe delle funzioni integrabili. Le proprieta' dell'integrale. Il Teorema della media integrale (con dimostrazione). Il problema della primitiva. Teorema di struttura delle primitive (con dimostrazione). La definizione della funzione integrale.


    Lezione del 04.12.2020: Il primo e il secondo teorema fondamentale del calcolo con dimostrazione. Esercizi sugli integrali immediati.


    Lezione del 07.12.2020: Esercizi sugli integrali immediati. Tecniche di integrazione: le formule di integrazione per parti e per sostituzione, con esempi di applicazione. Alcune nozioni sull'integrazione di funzioni razionali fratte.


    Lezione del 09.12.2020: Introduzione agli integrali impropri. Definizione di integrale improprio su intervalli semiaperti, su semirette e su intervalli aperti generali. Alcuni esempi di studio del carattere degli integrali impropri. Il teorema fondamentale degli integrali impropri di funzioni positive (con dimostrazione). Il criterio del confronto per integrali impropri di funzioni positive (con dimostrazione).


    Lezione del 11.12.2020: Il criterio asintotico del confronto. Il teorema di Mac Laurin con dimostrazione. Integrali impropri assolutamente convergenti. Esercizi sugli integrali impropri.


    Lezione del 15.12.2020: Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Nozioni generali. Esempi tratti dalle applicazioni. Derivazione delle formule risolutive per le equazioni del prim'ordine a variabili separabili, e le equazioni lineari del prim'ordine a coefficienti continui. Equazioni lineari del second'ordine a coefficienti continui: teorema di struttura dell'integrale generale. Il metodo di somiglianza per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa.


    Lezione del 16.12.2020: Introduzione alle equazioni differenziali o Esercizi sugli integrali impropri e sulle equazioni del prim'ordine a variabili separabili.


    Lezione del 18.12.2020: Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie del second'ordine lineari a coefficienti costanti, omogenee e con termine forzante.